** Exercice de synthèse - Optimisation avec une fonction

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .
On considère le point  \(\text A(1~;-1~;-1)\)  et la droite  \(\mathscr D\)  de représentation paramétrique  \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1+2t\\ y &=& - t\\ z&=&3-2t \end{array}\right.\)  avec  \(t \in\mathbb R\) .

Pour tout réel \(t\) , on note \(\text M\) le point de  \(\mathscr D\)  de paramètre \(t\) . 

On considère la fonction \(f\) qui, à tout réel \(t\) , associe \(\text A\text M^2\) , soit  \(f(t)=\text A\text M^2\) .

1. Justifier que le point \(\text A\) n'appartient pas à la droite \(\mathscr D\) .

2. Démontrer que, pour tout réel \(t\) , on a : \(f(t)=9t^2-18t+17\) .

3. Démontrer que la distance \(\text A\text M\) est minimale lorsque \(\text M\) a pour coordonnées \((3~;-1~;~1)\) .

4. Que représente ce point \(\text M\) par rapport au point \(\text A\) ?